“我国教材改革中一个优秀的典范”

教材对于教师来说，犹如剧本对于演员一样重要。没有好的剧本，再优秀的演员也演不出好的作品；同样，没有与改革理念相匹配的教材，教师的教学也很难达到教改的要求。李伟教授怀着使教师依据教材就能改革教学内容与教学方法、在使学生获得知识的同时注重培养学生科学的思维能力与正确的认知能力的初心，主编了由高等教育出版社出版的《高等数学》（上、下册，2011年）。教育部高等学校数学基础课程教学指导分委会认为，这套教材“是我国教材改革中一个优秀的典范，对大学数学教学方法的改革作出了建设性的贡献”。高等教育出版社于今年8月对该书做了再版（以下简称第二版为“该书”）。正如我国著名数学教育家马知恩教授为该书所写的序中所说：“李伟潜心于探索高等数学教学内容的精髓，对如何通过高等数学的学习，培养读者的学习兴趣，激发读者的创新意识，培养读者分析问题、解决问题的能力，提高数学素养做了系统的研究、探索。”“这次再版融合了他对高等数学潜心研究的结晶。”该书主要有以下几个鲜明的特点。

一、努力培养学生“借助已有的知识去获取知识”的能力

李伟在长期的教学、科研实践中发现，“用‘已知’认识‘未知’、用‘已知’研究‘未知’、用‘已知’解决‘未知’”是人类认识世界的基本准则，也是人类文明发展所遵循的基本规则。人类文明的每次进步，科学技术的每个发现与发明，无不建立在“已知”的基础上。学生学习也是如此，每个新知识都要利用已有的知识与方法去认识、研究与接受。该书将这一认知准则作为全书的主线，贯穿于各个章节。引入新概念、证明新命题、求解例题，着力引导学生寻找解决面临的“未知”所需要的“已知”、将困难的“未知”转化为熟悉的“已知”，从中理解知识中蕴含的思想、学到其中的方法。教师依据该书讲课，层次清晰，逻辑严谨，使学生不仅能“知其然”，而且能“知其所以然”，能大大激发学习的欲望与兴趣，培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。

著名教育家苏霍姆林斯基说：“最高的教育技巧是教给学生能借助已有的知识去获取知识。”该书学习并发展了苏霍姆林斯基的思想，教师使用该书就能实施“最高的教育技巧”。

二、用人类基本认知准则揭示出微积分的基本思想，使学生学到微积分的精髓与真谛

特别值得一提的是，该书将人类的基本认知准则用于微积分，揭示并总结出微积分的基本思想。

微积分是变量数学，研究的是非均匀变化（分布）的量。遵照人类的基本认知准则，学习变量数学这一“未知”必须利用中小学期间所学的常量数学作“已知”。但是，从常量数学到变量数学有一条难以逾越的鸿沟，这是造成微积分难的重要原因。为铲平这一鸿沟，该书在“局部”范围内将“非均匀变化”近似看作“均匀变化”，将变量数学问题（“未知”）转换为常量数学问题（“已知”），从而用初等方法求出近似值，再在“局部”无限变小时对近似值求极限。所以，该书用人类的基本认知准则搭建起联系常量数学与变量数学之间的桥梁，揭示、总结出微积分的基本思想方法。利用这一思想轻松地引出导数与（各种）积分等微积分的基本概念。用它来审视微积分，虽然导数与积分所研究的问题有着“局部”与“整体”的巨大差异，它们却是同根同源，它们所采用的都是微积分的基本思想方法。用这一思想讨论积分的应用，微元法就变得简单清晰，大大降低用积分解决实际问题的难度。该书不仅使教师易教、学生好学，而且使学生学到微积分的精髓与真谛。

三、重视数学方法的应用，注重培养学生敢于猜想、善于猜想的能力

让知识突然从天而降，然后用抽象的理论论证抽象的理论，使学生迷迷糊糊地被教师牵着鼻子在黑暗中摸索，是造成微积分难学、学生厌学的重要原因。

该书着力避免这种现象的发生。注重运用由特殊（具体）到一般、由直观到抽象、用简单替代复杂等方法引入新概念，或通过联想类比把已有结论推广到一般。运用这些方法将问题变难为易、变抽象为具体、变“未知”为“已知”。即使一些公认的纯数学问题，也尽量从简单的问题或几何直观引导学生发现问题，提出猜想，然后再抽象为一般。这不仅培养了学生学会使用数学的方法，而且培养了学生的猜想能力。牛顿说：“没有大胆的猜想就没有伟大的发现。”的确，要创新首先要有创新的意识。如果不能发现问题、提出问题，那么创新从何谈起？因此，通过简单、具体的问题，直观的几何图形引导学生发现问题、产生期望，然后通过“这使我们猜想”“不禁要问”“我们期盼”等启发性语言唤起学生思考、猜想。“做‘学问’先学‘问’”是该书的鲜明特点。

四、通过“边框”将启发式、讨论式引入教材，使学生在课下看书也能与课本形成互动，为教师实施互动式教学提供借鉴

遵循“在游泳中学会游泳”的哲理，该书既注重帮助教师在课堂上变灌输式为互动式，又注重变学生课下看书被动接受为与课本形成互动，为此创造性地引入了“边框”。通过“边框”提出问题，提示学生寻找解决面临的“未知”所需要的“已知”，使学生不仅知道“是什么”“怎样做”，而且知道“为什么”“怎样想”，“知其然”还“知其所以然”。例题之后利用边框提出问题，提示学生总结，以使认识得到升华。只做题、不总结，增加的是负担，而不是能力，背离了做题的目的。这为如何“减负”提供了借鉴。“边框”降低了课本的“冰冷”，激发了学生的读书兴趣、培养了其读书能力。

“边框”给教师实施启发式、互动式教学提供帮助、借鉴与“物质”支撑，使教师不自觉地实施了互动式、讨论式教学。这是大面积推动教学改革向纵深发展的最快捷有效的方法。

五、在适当地方引进二维码

利用二维码以注记的形式对有关知识点、往届学生提出的疑难问题等给予注释、补充，解决因种种原因给学生带来的困惑，使学有余力的学生扩大视野、提高能力。通过二维码把课本中分布散乱的相关知识加以系统，便于学生清晰地掌握与运用。通过二维码在适当地方配以历史回顾及历史人物简介，有利于学生了解数学文化，培养学习的兴趣。有利于配合思政课激励他们“立大志、明大德、成大才、担大任”，拼搏奋斗，刻苦读书，实现教书育人的目标。

六、引入数学建模实例及数学软件，培养学生解决实际问题的能力

培养学生解决实际问题的能力不是课本上作者杜撰的“实际问题”所能实现的。该书配合正文内容引入数学建模实例，以培养学生解决实际问题的能力。为解决建模实例，介绍了一个常用的数学软件，使学生掌握解决实际问题的工具。